Əvəz Abdulhəsən oğlu Cəbiyev 28 aprel 1922-ci ildə Ərkivan kəndinin (indi qəsəbədir) Cəbili məhəlləsində anadan olub. O, Masallının ilk tibb elmləri doktoru, Ərkivan kəndinin isə ilk alimi olub.
Əvəz Cəbiyev ilk təhsilini Ərkivan kənd orta məktəbində alıb. O, 1940-1943-cü illərdə Masallı şəhər 2 nömrəli natamam orta məktəbində fizika, riyaziyyat və kimya fənləri üzrə dərs deyib. Cəbiyev 1943-1944-cü illərdə Masallı rayon Maliyyə Şöbəsi üzrə Dövlət Sığorta İnspeksiyasında çalışıb. O, 1948-ci ildə N.Nərimanov adına Azərbaycan Dövlət Tibb İnstitutunun müalicə-profilaktika fakültəsini bitirib. 1948-ci ilin mart ayında təhsilini institutun infeksiya xəstəlikləri kafedrasında davam etdirib.
Cəbiyev 1951-1952-ci illərdə Bakı şəhər 3 saylı tibb məktəbində, 1952-1956-cı illərdə N.A.Semaşko adına xəstəxanada işləyib. Əvəz Cəbiyev 1952-ci ildə Sankt-Peterburqda, 1968-ci ildə isə Moskvada ixtisasartırma kursları keçib. O, 1956-cı ildə Azərbaycan Dövlət Tibb İnstitutunun birinci müalicə kafedrasına assistent, 1963-cü ilin martında dosent, 1969-cu ilin iyununda professor seçilib və ömrünün sonunadək orada işləyib.
Deyilənə görə, Əvəz Cəbiyev mühəndis olmaq istəyib. Lakin alim və həkim Mirkazım Aslanlı Sarəng onu həkim olmağa ruhlandırıb.
Əvəz Cəbiyev 1954-cü ildə tibb elmləri namizədi alimlik dərəcəsi almaq üçün “Endemik səpkili yatalaq xəstəliyində karbohidratlar mübadiləsi” mövzusunda dissertasiya müdafiə edib. Bu, onun ilk elmi uğuru olub. 1968-ci ilin mayında isə alim “Azərbaycanın müxtəlif əhali qrupları arasında ürəyin işemik xəstəliyinin epidemiologiyası” mövzusunda doktorluq dissertasiyasını müdafiə edib.
1973-cü ilədək Əvəz Cəbiyevin 54 elmi əsəri ölkə mətbuatında dərc olunub. O, xarici ölkələrdə keçirilən konfrans və konqreslərdə, simpozium və müşavirələrdə mühazirələr oxuyub, məruzələrlə çıxış edib.
Əvəz Cəbiyev 1974-cü ildə 52 yaşında Bakı şəhərində dünyasını dəyişib və Ərkivanda, Cəbili qəbiristanlığında dəfn olunub.
1991-ci ildə Masallı Rayon Mərkəzi Xəstəxanasına Cəbiyevin adı verilib. Lakin hazırda həmin xəstəxanada onun adını daşıması barədə lövhə yoxdur.
